TEXTO 2. DIDACTICA DE LAS MATEMÁTICAS

1.1 ¿QUE INTENTA LA DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS?

No es un recetario didactico, ni un modelo para la enseñanza, si no un intento de transmitir algunas reflexiuones, producto de la experiencia y de la lectura de especialistas en el tema.
tal vez no se pueda lograr estimular "la sorpresa matemática"

DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA

La concebimos como una disciplina en tanto conjunto de saberes organizados, cuyo objeto de estudio es la relación entre los saberes y su enseñanza.

En un breve recorrido histórico podemos ver distintas motivaciones para la enseñanza: Villella (1996) recuerda que en Egipto y Mesopotamia se enseñaba con un fin meramente utilitario: dividir cosechas, repartir campos, etc.; en Grecia su carácter era formativo, cultivador del razonamiento, complementándose con el fin instrumental en tanto desarrollo de la inteligencia y camino de búsqueda de la verdad.

Hoy podemos hablar de 3 fines: formativo, instrumental y social. Teniendo en cuenta algunos contextos: de producción, de apropiación, de utilización del saber matemático.

ESTILOS DE ENSEÑANZA

La matemática como actividad posee una característica fundamental: La matematización.

Matematizar es organizar y estructurar la informacion que aparece en un problema, identificar los aspectos matematicos relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras

Treffer en sutesis (1978) distingue dos formas de matematización, la matematización horizontal y la matematización vertical.

La MATEMATIZACIÓN HORIZONTAL, nos lleva delmundo real al mundo de los simbolos y posibilita tratar matemáticamente un conjunto de problemas.

En esta actividad son característicos los siguientes procesos:

• IDENTIFICAR las matemáticas en contextos generales
• ESQUEMATIZAR
• FORMULAR y VISUALIZAR un problema de varias maneras
• DESCUBRIR relaciones y regularidades
• RECONOCER aspectos isomorfos en diferentes problemas
• TRANSFERIR un problema real a uno matemático
• TRANSFERIR un problema real a un modelo matemático conocido.

La MATEMATIZACIÓN VERTICAL consiste en el tratamiento específicamente matemático de las situaciones, y en tal actividad son característicos los siguientes procesos:

• REPRESENTAR una relación mediante una fórmula
• UTILIZAR diferentes modelos
• REFINAR y AJUSTAR modelos
• COMBINAR e INTEGRAR modelos
• PROBAR regularidades
• FORMULAR unconcpeto matemático nuevo
• GENERALIZAR

Estos dos componentes de la matematización pueden ayudarnos a caracterizar los diferentes estilos o enfoques en la enseñanza de la matemática.

Estructuralismo

Para elestructuralismo, la matemática es una ciencia lógico deductiva y ese carácter es el que debe informar la enseñanza de la misma.

El estilo estructuralista hunde sus raíces históricas en la enseñanza de la geometría euclideana y en la concepción de la matemática como logro cognitivo caracterizado por ser un sistema deductivo cerrado y fuertemente organizado. Es por lo que, a los ojos de los estructuralistas, a los alumnos se les debe enseñar la matemática como un sistema bien estructurado, siendo además la estructura del sistema la guía del proceso de aprendizaje Ese fue, y sigue siendo, el principio fundamental de la reforma conocida con el nombre de Matemática Moderna y cuyas consecuencias llegan hasta nuestros días. El estilo estructuralista carece del componente horizontal pero cultiva, de forma abundante, el componente vertical.

Mecanicismo

El estilo mecanicista se caracteriza por la consideración de la matemática como un conjunto de reglas. A los alumnos se les enseñan las reglas y las deben aplicar a problemas que son similares a los ejemplos previos. Raramente se parte de problemas reales o cercanos al alumno, más aún, se presta poca atención a las aplicaciones como génesis de los conceptos y procedimientos, y mucha a la memorización y automatización de algoritmos de uso restringido. El estilo mecanicista se caracteriza por una carencia casi absoluta de los dos tipos de matematización.

El ataque más demoledor a este planteamiento de enseñanza proviene de H. Freudenthal (1991): "De acuerdo con la filosofía mecanicista el hombre es como una computadora, de tal forma que su actuación puede ser programada por medio de la práctica. En el nivel más bajo, es la práctica en las operaciones aritméticas y algebraicas (incluso geométricas) y la solución de problemas que se distinguen por pautas fácilmente reconocibles y procesables. Es en este, el más bajo nivel dentro de la jerarquía de los más potentes ordenadores, donde se sitúa al hombre".

Freudenthal termina su alegato con la siguiente pregunta dirigida a sus propagadores: ¿Por qué enseñar a los alumnos a ejecutar tareas, al nivel en el que los ordenadores son mucho más rápidos, económicos y seguros?

Empirismo

Toma como punto de partida la realidad cercana al alumno, lo concreto. La enseñanza es básicamente utilitaria, los alumnos adquieren experiencias y contenidos útiles, pero carece de profundización y sistematización en el aprendizaje. El empirismo está enraizado profundamente en la educación utilitaria inglesa.

Realista

El estilo realista parte asimismo de la realidad, requiere de matematización horizontal, pero al contrario que en la empirista se profundiza y se sistematiza en los aprendizajes, poniendo la atención en el desarrollo de modelos, esquemas, símbolos, etc. El principio didáctico es la reconstrucción o invención de la matemática por el alumno, así, las construcciones de los alumnos son fundamentales. Es una enseñanza orientada básicamente a los procesos.

Los estilos empirista y realista desarrollan bastante el componente horizontal pero sólo el último presta atención al componente vertical, que es casi inexistente en el primero.

ALGEBRA

CAPITULO 1
INCURSIONES EN LA HISTORIA DEL ALGEBRA

Introducción. Es necesario alertar sobre la utilización ingenua de la historia de la matemática en la enseñanza y trascender la postura segun la cual la historia serviría para proveer buenas "motivaciones para el aula". las condiciones en la historia que hicieron posible el planteo de problemas y de preguntas, son de alguna manera irreproducibles escolarmente si se piensa la construcción de conocimientos como una construcción social.

Y AL PRINCIPIO FUE LA GEOMETRÍA

Cuando pensamos en el trabajo matemático de la escuela media, solemos identificar y diferenciae tres regiones bien asentadas en la tradición escolar: aritmética, algebra y geometria.

Prara comprender mejor las filiaciones y rupturas entre el álgebra y las otras regiones, vamos a comenzar por explorar estas relaciones en diferentes momentos de la historia de la matemática. Recorreremos distintos tramos de sus raices, de sus nublados principios, fundamentalmente en lo que hace a su relación cambiante y fundadora con la geometría, así como el trabajo que ambas permiten desplegar para la resolución de problemas aritméticos.

Las tablillas de Mesopotamia y sus ecuaciones cuadráticas, el trabajo numérico-geométrico de la escuela pitagórica y la geometría sintetica de Euclides serán discutidos y puestos en contraste con nuestras prácticas actuales algebráicas. Señalaremos las marcas dejadas por el trabajo de Diofanto, de Al. Kowarismi, de Viete y de Descartes.

PRIMERA PARADA. Los procedimientos de resolución en la antigua Babilonia.

Los pueblos de Mesopotamia son los autores de los textos mas antiguos de matemática que conocemos en la actualidad. Se trata de tablillas de arcilla talladas con signos cuneiformews que se empelaban como textos de enseñanza y para contabilidad. Algunas datan del año 3300 antes de Cristo.
Vamos a deternernos en el problema cuadr´patico de una tablilla del año 21600 antes de Cristo aproximadamente. Presemtamos primeramente el enunciado textual y su p´rocedimiento de resolución con los valores numericos con los que se presenta en la tablilla.

"He sumado la superficie y mi lado de cuadrado: 45.
Pondras 1, la wasitum. Fraccionaras la mitad de 1 (:39).
Multiplicaras 30 y 30 (:15). Agregarás 15 a 45:1. 1 es (su) raíz cuadrada. Restarás el 30 que has multiplicado de 1 (:30). 30 es el lado del cuadrado.

La lectura del enunciado de este problema nos plantea un interrogante: ¿como se pueden sumar el cuadrado(una superficie) y un lado(luongitud)? ¿ que sentido pouede tener?

Recosntruimos el procedimiento adaptandolo an uestros conocimientos: el problema puede escribirse como x^2 + x = 1/2
supongamos la ecuacion de la forma ax^2+bx+c=0. el problema planteado tendría a=1, b=1, c= -3/4.

el procedimiento puede ser del siguiente modo



que es exactamente la formula que conocemos para hallar la unica solución positiva de una ecuación de segundo grado con el coeficiente c negativo y el coeficiente a= 1.

¿ALGEBRA O NO?

RAZONAMIENTO PROBABILISTA

LA CIENCIA PARA LOS NO CIENTIFICOS

LA CIENCIA CANTANDO

La aventura de la ciencia comenzó cuando hace algunos millones de años , uno de nuestros lejanos ancestros Eva o Adan, al contemplar el amanecer una bola de fuego que brotaba en el horizonte y recordar que habia presenciado el mismo espectaculo la vispera, se pregunto: ¿es la misma bola de fuego de ayer? La pregunta era ociosa; la respuesta, si se hubiera podido obtener, no habria cambiado en nada la problemas cambiado en nada los problemas planteados por la sobrevivencia. Lo que importa es que la bola de fuego parece, ilumina, calienta y facilita con su presencia las tareas necesarias; cazar, recoger, pescar. ¡Para que conocer su origen?

Pero ni la caza ni la pesca han podido hacerle olvidar su pregunta. Esta no tenia ninguna consecuencia en su vida cotidiana, sin embargo no podía librarse de ella; punzante, se le había aferrado como una sanguijuela. Obtener una respuesta le parecia tan necesario como comer y beber . Pero nadie podía proporcionársela, y se contentó con imaginar una, admitiendo que esa bola era nueva cada mañana y que una divinidad desconocida, mas alla del horizontew , trabajaba durante la noche para fabricarla y a la mañana, la lanzaba hacia el cielo , dejándola caer por la noche en el oceano donde se hundía.

Esa extraña actitud de interrogacion resultó contagiosa . Se propago en toda nuestra especie al punto de ser una de las características que fundan nuestra originalidad y nos diferencia de los otros primates mucho mas que la ausencia en nuestro cuerpo de la hermosa piel que adorna el de nuestros chimpances y gorilas.
No solo somos los primates desnudos y torpes, somos animales curiosos: desde la mas tierna edad, la conversación de los niños esta llena de interrogantes, a lo largo de toda su vida el adulto es atenaceado por la incomodidad de las preguntas sin respuesta.



Aquel que plantea preguntas es HOMO SAPIENS.
Y el HOMO SAPIEN SAPIENS es aquel que se esfuerza por encontrar respuestas lógicas a sus preguntas.


DE LA OBSERVACIÓN A LA COMPRENSIÓN

Nuestros sentidos nos informan a cada instante del estado de la pequeña porción del mundo que nos rodea. un flujo permanente de sensasiones aquí nos designa solo a los miembros de nuestra especie si no a todos los seres dotados de un minimo de autonomía por la naturaleza. El animal mas humilde tiene la capacidad de tener en cuenta, para adaptar su comportamiento, las informaciones que recibe por medio de multiples organos de los sentidos.

La particularidad d nuestra especie no consiste en disponer de fuentes de informaciones particularmente habilitantes; lo que nos distingue es el haber adoptado una actitud de interrogación: tratamos de remontar la cadena de las casualidades que han culminado en los acontecimientos constatados, es decir, comprender los procesos que se desarrollan alrededor de nosotros y en nosotros .
Comprender el universo que me rodea formo parte de el,que me ha producido. Movido por todas las fuerzas que obran en el, ha realizado una multitud de estructuras; unas ínfimas, como los núcleos de los átomos; otras gigantescas, como las galaxias; unas aparentemente estables, como tranquilizadas otras en rápida transformación, como tendidas hacia la concreción de la realidad por venir. Entre los innumerables productos de esta cosecha cósmica, yo y mis semejantes .

Los mismos procesos que han desembocado en el corazon de ciertas galaxias con un espacio casi vbacío atravesado por radiaciones tan débiles que son apenas discernibles, aquí hay un horno donde elementos llevadoa amilloon es de grados elaboran nuevas moleculas a punto de detenerse a falta de acontecimientos esos mismos encadenamientos ciegos, imprevisibles, brutales, de causas y efectos han culminado provisoriamente, en este pequeño planeta, despues de unos quince mil millones de años, a un ser capás de admirar la quietud de los crepúsculos, de embriagarse con la belleza de las rosas, de emocionarse ante una mirada .

Capáz tambien de emprender la reconstrucción del camino que, partiendo de la informe papilla inicial, al precio de la exploración de múltiples callejones sin salida de innumerables bifurcaciones hacia nuevas vías, de rupturas brutales, de ensayos, de errores, ha conducido hasta el. SER CIENTÍFICO ES ATREVERSE A TUTEAR EL UNIVERSO.

EL CONOCIMIENTO DEGRADADO A EFICACIA

La actividad intelectual fundada sobre el rigor es la actitud especifica de nuestra especie; es lo que la identifica. Decir que un ser humano es cientifico es un pleonasmo.
La mayoria de las innovaciones conceptuales no ha tenido, al menos en un primer momento, ninguna aplicación práctica.
En el siglo XVII, el descubrimiento por Galileo de la proporcionalidad entre la fuerza y la aceleración, ha hecho renunciae a un error, pero no ha cambiado en lo inmediato de la vida de los hombres, como tampoco lo hizo la hipótesis del origen comun de todos los seres vivientes propuesta por Darwin.

En francia, cada vez más rapidamente a medida que suceden l,as formas de enseñanza, los niños son clasificados, catalogados, orientados segun que sean considerados como cientificos literarios o manuales. Estra catalogación podría ser insignificante si esas palabras de connotación mas bien amable no ocultaran juzgamientos rotundos y a veces cargados de catástrofes personales.

Tales juicios son aberrantes y destructivos. es necesario denunciarlo no solo para luchar contra las injusticias y reinsertar a los excluidos para mejorar el vivir juntos donde constatamos a medida que los medios se van multiplicando , que se plantean problemas cada vez mas difíciles.

CIENCIA Y DEMOCRACIA


Al hacer aceptar por la mayoría de los adolescentes la certeza de que no estan hechos para comprender", que no pertenecen a la pequeña cohorte de los pocos cerebros privilegiados, los unicos en tener acceso a la comprensión de la realidad, al sugerir que tanto su interés personal como el interés colectivo necesitan que se resignen a obedecer ciegamente, se organiza una sociedad fundada sobre la sumisión de la multitud. PANEM es ahora, al menos en los paoses desarrollados, proporcionado a todos, aun a los mas desprovistos, circenses (los juegos), gracias a la televisión, están